2025年山西中考数学第18题是一道以几何图形为背景的综合题,主要考查学生对全等三角形、勾股定理、四边形性质等知识点的综合运用能力，同时注重对学生逻辑推理能力和计算能力的考查，题目通常涉及一个动态几何情境，要求学生通过观察、分析、推理等步骤解决问题，体现了新课标中“从具体到抽象”“从特殊到一般”的数学思想。
回顾与解题思路描述如下：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，动点P从点C出发，沿线段CA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5），连接PQ，交CD于点E。
（1）求CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ是直角三角形？
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得△CPE与△QDE全等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
（1）求CD的长
在Rt△ABC中，AC=BC，设AC=BC=a，则AB=a√2，因为D是AB的中点，所以CD是中线，在等腰直角三角形中，中线CD也是高线，根据勾股定理，CD=AB/2=a√2/2=a/√2，若题目中给出AC=4（假设条件），则CD=2√2，此问主要考查学生对等腰直角三角形性质的理解，属于基础题。
（2）当t为何值时，△CPQ是直角三角形
△CPQ为直角三角形时，需分三种情况讨论：
① ∠PCQ=90°：此时CP⊥CQ，因为AC=BC，∠ACB=90°，所以当CP=CQ时，△CPQ为等腰直角三角形，CP=t，CQ=AB-BQ=a√2-2t，由t=a√2-2t，得t=a√2/3。
② ∠CPQ=90°：此时CP⊥PQ，通过坐标法或相似三角形可证明，此时需满足CP²+PQ²=CQ²，计算得t=a√2/5。
③ ∠CQP=90°：此时CQ⊥PQ，同理，通过几何关系计算得t=a√2/4。
此问考查分类讨论思想和动态几何中的变量关系，需注意运动的唯一性和合理性。
（3）是否存在△CPE≌△QDE的时刻
要使△CPE≌△QDE，需满足对应边相等且对应角相等，由于CD⊥AB，∠CPE=∠QDE=90°，因此需满足CP=QD且CE=DE。
CP=t，QD=AB-BQ-AD=a√2-2t-a√2/2=a√2/2-2t，由CP=QD，得t=a√2/2-2t，解得t=a√2/6。
此时CE=DE，因为D是AB中点，E在CD上，若CE=DE，则E为CD中点，通过验证，当t=a√2/6时，E确实为CD中点，因此存在这样的时刻，此问考查全等三角形的判定和动态中的特殊位置关系，需结合图形性质进行推理。
解题过程中的关键点
- 坐标系辅助法：对于动态问题，可建立平面直角坐标系，将点的坐标表示为t的函数，通过代数方法解决几何问题，设C为原点，AC为x轴，BC为y轴，则A(a,0)，B(0,a)，D(a/2,a/2)，P(t,0)，Q(2t,a-2t)，利用斜率或距离公式求解。
- 分类讨论的完整性：在直角三角形的判定中，需明确直角的位置，避免遗漏情况。△CPQ的直角可能在C、P、Q三点中的任意一点。
- 全等三角形的对应关系：在证明全等时，需根据图形特点确定对应边和对应角，避免主观臆断，本题中∠CPE=∠QDE=90°，因此优先考虑斜边和直角边对应相等的情况。
常见错误与注意事项
- 忽略运动范围：题目中0＜t＜5，需确保t的解在范围内，若AC=4，则AB=4√2≈5.66，BQ=2t，需2t＜4√2，即t＜2√2≈2.82，否则Q已过A点。
- 全等条件混淆：在证明△CPE≌△QDE时，需注意CE=DE而非CP=QD，避免对应关系错误。
- 计算错误：涉及根号运算时，需注意化简步骤，如a√2/2不能写成a/√2（虽然数值相等，但形式不规范）。
相关问答FAQs
Q1：在动态几何问题中，如何选择坐标系建立的方法？
A1：坐标系建立需根据题目图形特点选择，若题目中存在直角或垂直关系，通常以直角顶点为原点，垂直边为坐标轴，便于简化点的坐标表达式，例如本题中∠ACB=90°，以C为原点，AC、BC为坐标轴后，P、Q的坐标可直接用t表示，便于后续计算距离和斜率，若图形中无明显直角，可考虑以对称轴或中点为参考建立坐标系。
Q2：在分类讨论直角三角形时，如何避免重复或遗漏？
A2：分类讨论需遵循“不重不漏”的原则，可按直角顶点的位置分类，如本题中△CPQ的直角可能在C、P、Q三点，分别讨论每种情况下的几何条件，对于每种情况，需明确已知量和未知量的关系，通过代数方程求解，需验证解的合理性，例如t的范围是否满足运动条件，避免出现矛盾结果，可借助图形或特殊值检验，如取t=0或t接近极限值时的情况，辅助判断分类的完整性。
