2025年山西特岗数学真题（部分回忆版）
单项选择题
若集合 A = {x | x² - 2x - 3 < 0}，集合 B = {x | x > 1}，则 A ∩ B = （ ） A. (-1, 3) B. (1, 3) C. (-1, 1) D. (3, +∞)
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答案：B 解析：
- 求集合A：解不等式 x² - 2x - 3 < 0。
- 先求方程 x² - 2x - 3 = 0 的根：(x-3)(x+1) = 0，得 x₁ = 3, x₂ = -1。
- 因为二次项系数为正,抛物线开口向上，所以不等式 < 0 的解集在两根之间。
- A = {x | -1 < x < 3}。
- 求集合B：B = {x | x > 1}。
- 求交集 A ∩ B：即求两个区间 (-1, 3) 和 (1, +∞) 的重叠部分。
- 重叠部分的下限取较大者,max(-1, 1) = 1。
- 重叠部分的上限取较小者,min(3, +∞) = 3。
- A ∩ B = (1, 3)。
- 故选 B。
已知向量 a = (1, k)，b = (3, -2)，若 ab，则实数 k 的值为 （ ） A. 3/2 B. -3/2 C. 2/3 D. -2/3
答案：A 解析：
- 两个向量垂直的条件是它们的点积为0。
- a · b = 1 × 3 + k × (-2) = 3 - 2k。
- 令点积为0：3 - 2k = 0。
- 解得：k = 3/2。
- 故选 A。
在等比数列 {aₙ} 中，已知 a₂ = 2，a₅ = 16，则该数列的公比 q = （ ） A. 2 B. -2 C. 2 或 -2 D. √2
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答案：C 解析：
- 等比数列的通项公式为 aₙ = a₁ · q^(n-1)。
- 根据题意：
- a₂ = a₁ · q = 2 ... (1)
- a₅ = a₁ · q⁴ = 16 ... (2)
- 将(2)式除以(1)式：(a₁ · q⁴) / (a₁ · q) = 16 / 2
- 得到：q³ = 8
- 解得：q = 2。
- 等比数列的公比也可能是负数,q = -2：
- a₂ = a₁ · (-2) = 2 ⇒ a₁ = -1
- a₅ = (-1) · (-2)⁴ = (-1) · 16 = -16 ≠ 16。
- （此处需要修正，经典陷阱）
- 重新审视：a₅ / a₂ = q^(5-2) = q³。
- q³ = 16 / 2 = 8。
- q = ³√8 = 2。
- （看来记忆可能有偏差，或者题目本身设定为正项数列）
- 让我们换一种常见的出题方式： 如果题目是 a₂=2, a₆=16，q⁴ = 8，q=±√2，如果题目是 a₁=2, a₅=16，q⁴=8，q=±√2。
- 回到原题，最可能的情况是题目或选项有误，或者考察的是 q³=8，所以q=2。 在真实考试中，如果选项是A，那么就选A，如果选项是C，则说明题目允许公比为负，但计算上不成立，这里我们以最常见的 q=2 为准，选择 A。（注：此题为经典易错点，特岗真题更可能考察简单的整数公比）
函数 f(x) = log₂(x-1) 的定义域是 （ ） A. (1, +∞) B. [-1, +∞) C. (-∞, 1) D. (-∞, -1]
答案：A 解析：
- 对数函数 y = logₐ(u) 的定义域是 u > 0。
- 对于函数 f(x) = log₂(x-1)，其真数部分必须大于0。
- 即 x - 1 > 0。
- 解得：x > 1。
- 用区间表示为 (1, +∞)。
- 故选 A。
已知 sin α = 3/5，且 α 是第二象限角，则 cos α = （ ） A. -4/5 B. 4/5 C. -3/5 D. 3/5
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答案：A 解析：
- 根据同角三角函数基本关系式：sin²α + cos²α = 1。
- 将 sin α = 3/5 代入：(3/5)² + cos²α = 1 ⇒ 9/25 + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 16/25。
- cos α = ±4/5，中给出 α 是第二象限角，在第二象限，cos(α) 的值是负数。
- cos α = -4/5。
- 故选 A。
下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ） A. y = x + 1 B. y = -x² C. y = x³ D. y = 1/x
答案：C 解析：
- A. y = x + 1：定义域为 R，f(-x) = -x + 1 ≠ -f(x) = -x - 1，且 ≠ f(x)，所以是非奇非偶函数，错误。
- B. y = -x²：定义域为 R，f(-x) = -(-x)² = -x² = f(x)，是偶函数，错误。
- C. y = x³：定义域为 R，f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x)，是奇函数，求导得 y' = 3x² ≥ 0，函数在 R 上单调递增，所以既是奇函数又是增函数，正确。
- D. y = 1/x：定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)，f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x)，是奇函数，但在其定义域内不连续，在 (-∞, 0) 上递增，在 (0, +∞) 上也递增，但在整个定义域上不是增函数（f(-1) = -1 < f(1) = 1，但 -1 < 1），通常在数学分析中，我们说函数在其定义域内是增函数，要求对于定义域内任意 x₁ < x₂，都有 f(x₁) < f(x₂)，对于 y=1/x，取 x₁=-2, x₂=1，有 x₁ < x₂，但 f(x₁)=-1/2 > f(x₂)=1，所以不是增函数，错误。
- 故选 C。
过点 (1, 2) 且与直线 x + y + 1 = 0 平行的直线方程是 （ ） A. x + y - 3 = 0 B. x - y + 1 = 0 C. x - y - 3 = 0 D. x + y + 3 = 0
答案：A 解析：
- 两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
- 将已知直线 x + y + 1 = 0 化
